দুইয়ের একটি সমতল গ্রিড আর পুরোপুরি তিন দিয়ে গড়া একটি ঘনকের মধ্যে অবস্থা-স্থানের (state space) এক মুখোমুখি লড়াই।
ইংরেজিতে লেখা ও সম্পাদিত। এই বাংলা সংস্করণটি যন্ত্রানুবাদের মাধ্যমে তৈরি; যেখানে নির্ভুলতা গুরুত্বপূর্ণ, সেখানে ইংরেজি মূলটিই প্রামাণ্য। ইংরেজিতে মূল লেখাটি পড়ুন →
দুটি গেমই সংখ্যা-সরানোর ধাঁধা। 2048-এ আপনি ষোলোটি ঘরের একটি 4×4 গ্রিডকে চারটি দিকের একটিতে ঠেলে দেন; সমান টাইলগুলো ধাক্কা খেয়ে দ্বিগুণ হয়, দুইয়ের ঘাত বেয়ে ওপরে ওঠে। 3927-এ আপনি সাতাশটি ঘরের একটি 3×3×3 ঘনককে ছয়টি দিকের একটিতে ঠেলে দেন; তিনটি সমান ব্লক ধাক্কা খেয়ে তিনগুণ হয়, তিনের ঘাত বেয়ে ওপরে ওঠে: 3, 9, 27, ঠিক নামের অঙ্কগুলোই। 1 কোনটি বেশি কঠিন, এই প্রশ্ন আসলে জানতে চায় কোন গেম সম্ভাব্য অবস্থানের বড় মহাসাগর লুকিয়ে রাখে। তাহলে চলুন, জলটা মেপে দেখার চেষ্টা করি।
একটি বোর্ডের কাঁচা আকার বাড়ে (ঘর-প্রতি প্রতীক)cells হারে, যেখানে cells মানে ঘরের সংখ্যা। ঘরের সংখ্যা বসে থাকে ঘাতাঙ্কে, আর সব প্রভাব সেখানেই। 2048 দেয় ষোলোটি ঘর; 3927 দেয় সাতাশটি। ঘর-প্রতি বর্ণমালা স্থির রাখলে ঘনকটি ইতিমধ্যেই মোটামুটি a27−16 = a11 গুণ বড়; দশটি প্রতীকের বর্ণমালা হলে, আর কিছু হিসাবে ধরার আগেই, শুধু এটুকুতেই অবস্থা একশো বিলিয়ন গুণ বেশি। আসল চালিকাশক্তি ভিত্তি-3 পাটিগণিত নয়, বাড়তি মাত্রাটি।
প্রতিটি ঘর হয় ফাঁকা, নয়তো একটি টাইল-মান ধরে রাখে। 256 টাইলে সীমাবদ্ধ 2048-এ একটি ঘর নয়টি প্রতীকের একটি বলে: ফাঁকা, আর {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}। ঠিক এই বর্ণমালা থেকে গড়া একটি প্রকাশিত ঊর্ধ্বসীমা 4×4 বোর্ডকে প্রায় 5.63 × 1014 অবস্থানে স্থাপন করে, আর লেখকেরা খোলাখুলি স্বীকার করেন যে এই ছাদ এমন অবৈধ বোর্ডও ধরে যা বাস্তবে কখনো ঘটতে পারে না। 2 3927-কে তুলনীয় গভীরতা দিন, ফাঁকা আর {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, মোট আটটি প্রতীক, তাহলে এর কাঁচা ছাদ 827 ≈ 2.4 × 1024। ভিত্তি 3 হওয়ায় 3927 ঘর-প্রতি ভিত্তি 2-এর চেয়ে কম প্রতীক পায়; এগারোটি বাড়তি ঘর তাকে আকাশটা ফিরিয়ে দেয়।
মানের সিঁড়িগুলো আরেকটু গভীরে নামালে 3927-এর ছাদ 2048-এর ছাদকে এক বিলিয়ন থেকে একশো বিলিয়ন গুণের মাঝামাঝি কোনো ব্যবধানে ছাড়িয়ে যায়। ঘনকটি জেতে ঘাতাঙ্কে।
পূর্ণ আকারের 2048-এর নাগালযোগ্য অবস্থাগুলো কেউ গুনে শেষ করেনি, 3927-এর তো কথাই নেই। কিন্তু গবেষকেরা ছোট করা 2048 বোর্ড পুরোপুরি সমাধান করেছেন, আর সেই নির্ভুল সংখ্যাগুলো আমাদের অনুমানকে নোঙর করে। 2048-এর একটি 3×3 বোর্ডে 48,713,519টি নাগালযোগ্য অবস্থা; সেটিকে 4×3 পর্যন্ত টেনে বাড়ালে সংখ্যাটি লাফিয়ে এক ট্রিলিয়ন ছাড়িয়ে যায়: 1,152,817,492,752টি অবস্থা, যার মধ্যে 739,648,886,170টি স্বতন্ত্র চাল-পরবর্তী অবস্থান। 3 প্রতিটি বাড়তি ঘর জগৎটাকে গুণ করে বাড়ায়। সেই বক্ররেখাকে 27টি ঘর পর্যন্ত টেনে নিলে কোনো সৎ সারণি একটি সংখ্যাও ছাপতে পারে না।
| বৈশিষ্ট্য | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| বোর্ড | 4×4 সমতল | 3×3×3 ঘনক |
| ঘর | 16 | 27 |
| সংখ্যার ভিত্তি | 2 | 3 |
| মিলনের নিয়ম | 2টি সমান → দ্বিগুণ | 3টি সমান → তিনগুণ |
| সরানোর দিক | 4 | 6 |
| প্রতীক / ঘর (সমান গভীরতায়) | 9 | 8 |
| কাঁচা ঊর্ধ্বসীমা (অবৈধসহ) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| উদ্ধৃত পরিমার্জিত ঊর্ধ্বসীমা | 5.63 × 10¹⁴ | কোনোটি প্রকাশিত হয়নি |
| নির্ভুল গণনা, 4×3 উপ-বোর্ড | 1.15 × 10¹² | , |
এখানকার প্রতিটি বড় সংখ্যা একটি ঊর্ধ্বসীমা বা মাত্রাক্রমের অনুমান, কখনোই শুমারি নয়। ছাদগুলো এমন বোর্ডও গোনে যেখানে বৈধ খেলা কখনো পৌঁছাতে পারে না, যেমন কেবল একটিমাত্র নিঃসঙ্গ টাইলওয়ালা একটি বোর্ড (দুটি গেমই দুটি টাইল দিয়ে শুরু হয়, আর প্রতিটি চালের পর একটি নতুন টাইল যোগ করে, তাই কোনো বোর্ডই কখনো একটিমাত্র টাইলে নেমে আসে না), বা এমন মান যা কোনো মিলন-ক্রম তৈরি করতে পারে না। 2048-এর সংখ্যাগুলো সহকর্মী-পর্যালোচিত গবেষণা থেকে নেওয়া; 3927-এর সংখ্যাগুলো আমার নিজের মোটা দাগের ছাদ, একই পদ্ধতিতে হিসাব করা, এবং এগুলোকে পড়া উচিত "এর চেয়ে বড় নয়, সম্ভবত অনেক কম" হিসেবে। দুটি গেমের নিয়মই গেমের নকশা-নথি থেকে মাপা, ধরে নেওয়া নয়।
অবস্থা-স্থানের আকার হলো মানচিত্র; শাখাবিস্তার গুণক (branching factor) হলো আপনি কত দ্রুত সেটি পাড়ি দেন। প্রতিটি পালায় খেলোয়াড় একটি দিক বেছে নেন, 2048-এ সর্বোচ্চ চারটি, 3927-এ সর্বোচ্চ ছয়টি, তাই ঘনকটি প্রতি চালে পঞ্চাশ শতাংশ বেশি প্রকৃত বিকল্প দেয়। তারপর দৈব এসে হাজির হয়: গেমটি একটি এলোমেলো ফাঁকা ঘরে একটি নতুন টাইল ফেলে। 2048 একটি 2 বা একটি 4 তৈরি করে, অর্থাৎ প্রতিটি খোলা ঘরে মোটামুটি দুটি ফলাফল, আর ফাঁকা ঘর থাকতে পারে পনেরোটি পর্যন্ত; 3927 সবসময় একটিমাত্র 3 তৈরি করে, কিন্তু ফাঁকা ঘর থাকতে পারে ছাব্বিশটি পর্যন্ত। 1 সিদ্ধান্তকে দৈব দিয়ে গুণ করুন, দেখবেন 3927-এর গেম-বৃক্ষ প্রতিটি স্তরে আরও চওড়া হয়ে ছড়ায়, এবং যেহেতু তিনটির মিলন দুটির মিলনের চেয়ে বিরল, এর খেলাগুলো দীর্ঘস্থায়ী হওয়ার প্রবণতা রাখে, ফলে বৃক্ষটি চওড়ার পাশাপাশি গভীরও হয়।
একজন মানুষের কাছে "কঠিন" অনেকটাই অনুভূতির ব্যাপার, আর 2048-ও মোটেই সহজ প্রতিপক্ষ নয়: একটি সাধারণ বোর্ডে কোনো যথেচ্ছ অবস্থান থেকে একটি লক্ষ্য-টাইলে পৌঁছানো যায় কি না, তা নির্ধারণ করা প্রমাণিতভাবে NP-hard। 4 কিন্তু একটি সংযুক্তিবিদ্যাগত বস্তু হিসেবে 3927 বড় প্রাণী, আর ব্যবধানটা বিস্তৃত ও সৎ: ঘাতাঙ্কে বেশি ঘর, শাখাবিস্তারে বেশি দিক, গভীরতায় দীর্ঘতর খেলা। যে ভিত্তি-3 পাটিগণিত একে নাম দিয়েছে, তা প্রায় একটি বিভ্রান্তিকর সূত্র। কাঠিন্য কখনোই তিনগুলোর মধ্যে ছিল না। ছিল তৃতীয় মাত্রায়।
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.