ভিত্তি তিনের লুকানো দক্ষতা, আর তার ওপর গড়া একটি খেলা নিঃশব্দে বেশি মার্জিত যন্ত্র কি না।
ইংরেজিতে লেখা ও সম্পাদিত। এই বাংলা সংস্করণটি যন্ত্রানুবাদের মাধ্যমে তৈরি; যেখানে নির্ভুলতা গুরুত্বপূর্ণ, সেখানে ইংরেজি মূলটিই প্রামাণ্য। ইংরেজিতে মূল লেখাটি পড়ুন →
3927 হলো তিন মাত্রায় এবং ভিন্ন এক পাটিগণিতে নতুন করে গড়া 2048। বোর্ডটি একটি 3×3×3 ঘনক, সাতাশটি ঘর, আর আপনি পুরো ঘনকটিকে ছয়টি দিকের যেকোনোটিতে ঠেলে দেন। সমান মানের তিনটি টাইল ধাক্কা খেলে তারা দ্বিগুণ হয় না; তারা তিনগুণ হয়। একটি তিন হয় নয়, একটি নয় হয় সাতাশ, এবং এভাবে এগিয়ে: 81, 243, 729। নামটি নিজেই প্রথম তিনটি টাইল গুনে যায়, 3·9·27, আর নকশার সবকিছুই আগাগোড়া তিন: প্রতি অক্ষে তিন, প্রতি মিলনে তিন, বৃদ্ধির গুণক হিসেবে তিন। 4
এর পূর্বপুরুষটি একগুঁয়েভাবে দ্বিমিক। ক্লাসিক 2048 কাজ করে দুইয়ের ঘাত নিয়ে, 2, 4, 8, 16…, আর টাইল মেলায় জোড়ায় জোড়ায়। দুই হলো মুদ্রা-টসের সংখ্যা, ট্রানজিস্টরের সংখ্যা, বিটের সংখ্যা। তাই একজন কৌতূহলী খেলোয়াড়ের স্বাভাবিক প্রশ্ন: দুইয়ের জায়গায় তিন বসানো কি নিছক অভিনবত্ব, নাকি তিন এতদিন ধরে একটি সত্যিকারের সুবিধা লুকিয়ে রেখেছিল? দেখা যাচ্ছে, গণিতের এ বিষয়ে একটি মত আছে, আর মতটি আশ্চর্য রকমের দৃঢ়।
কল্পনা করুন, আপনাকে সংখ্যা সংরক্ষণের একটি যন্ত্র বানাতে হবে। প্রতিটি অঙ্ক-অবস্থানের জন্য আপনার কিছু খরচ হয়, একটি চাকা, একটি তার, একটি টিউব, আর সেই খরচ ভিত্তির সঙ্গে বাড়ে, কারণ ভিত্তি-b অঙ্কের জন্য b-টি আলাদা করে চেনা যায় এমন অবস্থা লাগে। কিন্তু বড় ভিত্তি মানে যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যায় পৌঁছাতে কম অঙ্ক লাগে। এখানে একটি টানাপোড়েন আছে, আর তার একটি নামও আছে: radix economy, অর্থাৎ ভিত্তির মিতব্যয়িতা।
আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি সংখ্যা N-কে ভিত্তি b-তে প্রকাশ করার মিতব্যয়িতা হলো ভিত্তি গুণ অঙ্কসংখ্যা, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋। 1 বড় ভিত্তি আপনাকে ছোট সংখ্যা দেয়, কিন্তু অঙ্কগুলো দামি; ছোট ভিত্তি প্রতি অঙ্কে সস্তা, কিন্তু ছড়িয়ে পড়ে। দুই প্রান্তের মাঝে কোথাও একটি আদর্শ বিন্দু আছে, আর সেটি আমাদের বেশিরভাগ প্রযুক্তি যেখানে থিতু হয়েছে সেখানে নয়।
| ভিত্তি | b ÷ ln b | সর্বোত্তমের তুলনায় |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | সর্বোত্তম |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
বড় N-এর জন্য মিতব্যয়িতা (b ÷ ln b) · ln N-এর মতো আচরণ করে, তাই একটি ভিত্তির দক্ষতা পুরোপুরি নির্ভর করে b ÷ ln b গুণকটির ওপর। সামান্য ক্যালকুলাস দিয়ে এটিকে ন্যূনতম করুন, উত্তরটি নির্ভুল অথচ অদ্ভুত: সবচেয়ে মিতব্যয়ী ভিত্তি হলো e, মোটামুটি 2.71828। 1 অবশ্যই, প্রতি অঙ্কে 2.718টি অবস্থার কম্পিউটার বানানো যায় না। কিন্তু প্রশ্ন করা যায় কোন পূর্ণসংখ্যা সেই আদর্শের সবচেয়ে কাছে বসে আছে, আর বিজয়ী, দুই আর দশ দুটোকেই হারিয়ে, হলো তিন।
ব্যবধানটা নিছক তাত্ত্বিক নয়। ভিত্তি তিন তাত্ত্বিক সর্বোত্তমের আধা শতাংশের মধ্যে থাকে, যেখানে দ্বিমিক পদ্ধতি ছয় শতাংশ বাড়তি মাশুল দেয় আর দশমিক পদ্ধতি দেয় ষাট শতাংশের বিধ্বংসী মাশুল। এটি অনুভব করার একটি বাস্তব উপায়: 0 থেকে 999,999 পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা লিখতে দ্বিমিকে লাগে 20টি অঙ্ক, দশমিকে 6টি, কিন্তু ত্রিমিকে মাত্র 13টি, আর 13×3 মোট হিসেবে 20×2-এর চেয়ে ছোট। 1 তিন সত্যিই কম কাঠামোয় বেশি গণনা ঠেসে দেয়।
প্রকৃতিকে জিজ্ঞেস করা হয়েছিল গোনার সবচেয়ে দক্ষ উপায় কী, আর সে উত্তর দিয়েছিল একটি অমূলদ সংখ্যা দিয়ে। সেই উত্তরের সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা হলো তিন।
এটি কেবল পাঠ্যবইয়ের কৌতূহল নয়। 1958 সালে মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটিতে Nikolay Brusentsov এবং গণিতবিদ Sergei Sobolev-এর নেতৃত্বে একটি দল Setun তৈরি করে, যা এ যাবৎ নির্মিত সবচেয়ে বিখ্যাত ত্রিমিক কম্পিউটার। 3 পশ্চিম যখন বিটের পথে অঙ্গীকারবদ্ধ হচ্ছিল, Setun গুনত ট্রিট (trit) দিয়ে, আর এটি ব্যবহার করত একটি বিশেষভাবে সুন্দর পদ্ধতি: সুষম ত্রিমিক (balanced ternary), যার তিনটি অঙ্ক-মান 0, 1, 2 নয়, বরং −1, 0, +1। 2
এই প্রতিসাম্যের সুফল মেলে সঙ্গে সঙ্গেই। একটি সংখ্যা নিজের চিহ্ন নিজেই বহন করে, আলাদা কোনো চিহ্ন-বিট নেই, two's-complement-এর (দুইয়ের পূরক) কোনো কসরত নেই, আর যেকোনো মানকে ঋণাত্মক করতে শুধু প্রতিটি অঙ্ক উল্টে দিলেই হয়। আসন্নীকরণ আর ছেঁটে ফেলা একই ক্রিয়া হয়ে যায়। Donald Knuth একে বলেছিলেন "সম্ভবত সব সংখ্যাপদ্ধতির মধ্যে সবচেয়ে সুন্দর"। 2 ট্রানজিস্টর না থাকায় Brusentsov জোড়া জোড়া ফেরাইট কোর থেকে তিনটি স্থিতিশীল অবস্থা আদায় করে নিয়েছিলেন; মোটামুটি পঞ্চাশটি Setun তৈরি হয়েছিল, যার বেশিরভাগ সোভিয়েত বিশ্ববিদ্যালয়গুলোতে গণিত শেখানোর জন্য পাঠানো হয়েছিল। 3 যন্ত্রটি কাজ করত, সস্তা ছিল, আর নিঃশব্দে প্রতিবেশীদের চেয়ে এগিয়ে ছিল।
এখানেই একজন সতর্ক লেখককে নিজেকে সংযত করতে হয়। ভিত্তির মিতব্যয়িতা হলো নির্দিষ্ট খরচ-অনুমানের অধীনে সংখ্যা সংরক্ষণ ও প্রক্রিয়াকরণ নিয়ে একটি দাবি, আর গণিতবিদরাও মনে করিয়ে দেন যে সেই অনুমানগুলো কেবল আসন্ন; একটি পূর্ণাঙ্গ হিসাব প্রায়ই দ্বিমিককেই আবার ন্যায্য প্রমাণ করে, আর সে কারণেই পৃথিবী দ্বিমিকে চলে। 1 একটি মিলনের ধাঁধা কোনো মেমরি ব্যাংক নয়; চায়ের বিরতিতে কেউ টিউবের সংখ্যা কমানোর চেষ্টা করছে না। তাই কোনো ভারবাহী প্রকৌশলগত অর্থে 3927 "বেশি দক্ষ" নয়, আর তেমন দাবি করা হবে প্রতারণা।
তবু। খেলাটি সত্যিকারের কিছু উত্তরাধিকার পায়। তিনগুণ হয়ে বাড়া কম কিন্তু বেশি তাৎপর্যপূর্ণ চালে বড় সংখ্যায় পৌঁছায়; প্রতিটি মিলন বেশি কাজ করে, আর একটি 3×3×3 ঘনক হলো সবচেয়ে ছোট বোর্ড, যা তিন-মুখী মিলনকে প্রতিটি দিকে শ্বাস নিতে দেয়। 4 নকশাটি হোঁচট খেয়ে তিনে এসে পড়েনি; এটি থিতু হয়েছে সেই পূর্ণসংখ্যায়, যাকে গণনার গণিত ইলেকট্রনিক কম্পিউটিংয়ের সূচনা থেকেই নিঃশব্দে পছন্দ করে এসেছে, যাকে Setun-এর প্রকৌশলীরা সজ্ঞানে বেছে নিয়েছিলেন। দুই হলো সেই সংখ্যা, যাতে আমরা অভ্যাসবশে থিতু হয়েছি। তিন হলো সেই সংখ্যা, যা আমরা বেছে নিতাম যদি শেষ কথা বলত দক্ষতা, মুদ্রা-টস নয়। টাইলগুলো যে ঘটনাচক্রে 3, 9, 27 বানান করে, তা এক ছোট্ট রসিকতা, যা মহাবিশ্ব আগে থেকেই বলছিল।
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.