দাবা আমাদের গভীরতার মানদণ্ড। একটি নিঃশব্দ নকশা-সিদ্ধান্ত WordChess-কে সম্ভাব্য খেলার অনেক বড় একটি পরিসর দেয়।
ইংরেজিতে লেখা ও সম্পাদিত। এই বাংলা সংস্করণটি যন্ত্রানুবাদের মাধ্যমে তৈরি; যেখানে নির্ভুলতা গুরুত্বপূর্ণ, সেখানে ইংরেজি মূলটিই প্রামাণ্য। ইংরেজিতে মূল লেখাটি পড়ুন →
1950 সালে তথ্যতত্ত্বের জনক ক্লড শ্যানন হিসাব করেছিলেন দাবার কতগুলো ভিন্ন খেলা সম্ভব। তাঁর উত্তর, মোটামুটি 10120, পরিচিত হয় শ্যানন সংখ্যা নামে, আর তখন থেকেই এটি আমাদের সহজাত ধারণার নোঙর হয়ে আছে। 1 সংখ্যাটি এত বড় যে ভৌত মহাবিশ্বকেও লজ্জায় ফেলে, যেখানে পরমাণু আছে মাত্র প্রায় 1080টি। 6 আপনি প্রতিটি পরমাণুকে তার নিজের একটি দাবার বোর্ড দিলেও প্রতিটি খেলা খেলে দেখার মতো যথেষ্ট বোর্ড পাবেন না।
দাবা এই খ্যাতি সৎভাবেই অর্জন করেছে। শুরুর অবস্থান থেকে সাদার 20টি চাল আছে; কালো জবাব দেয় 20টি দিয়ে, আর একটিমাত্র চাল-বিনিময়ের পরেই অবস্থান দাঁড়ায় 400টিতে। ছয়টি অর্ধ-চালের মাথায় সংখ্যাটি 119 মিলিয়ন ছাড়িয়ে যায়; দশম অর্ধ-চালে তা পৌঁছায় 69 ট্রিলিয়নে। 4 খেলোয়াড়েরা একে বলেন branching factor বা শাখা-গুণক: প্রতি চালে বৈধ বিকল্পের সংখ্যা। দাবায় এর গড় প্রায় 35। 2 ওই সাদামাটা সংখ্যাটিই, চালের পর চালে চক্রবৃদ্ধি হয়ে, খেলাটির রহস্যের ইঞ্জিন। প্রথম বিশ চালে এটি মোটামুটি 1060 মাত্রার খেলা তৈরি করে। দাবার গভীরতার উৎস ঘুঁটি নয়। উৎস হলো শাখা-বিস্তার।
দাবার প্রথম দিকের চাল-সংখ্যাগুলো নিখুঁতভাবে জানা। WordChess-এরগুলো আনুমানিক, কিন্তু দুটি খেলা এত দ্রুত আলাদা হয়ে যায় যে একটিমাত্র চালের মধ্যেই ফারাকটি ভুল করার উপায় থাকে না। 4
| চালের পর | দাবা, নিখুঁত 4 | WordChess, আনুমানিক 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
দাবার সংখ্যাগুলো চাল-উৎপাদনের নিখুঁত গণনা (perft)। 4 WordChess-এর সংখ্যাগুলো ধরে নেয় যে প্রত্যেক খেলোয়াড়ের প্রথম চালে মোটামুটি দশ লক্ষ বৈধ বসানো থাকে (তাই দুজনেই চাল দেওয়ার পরে ~1012), আর তার পরের প্রতিটি চালে রক্ষণশীলভাবে এক হাজার; পদ্ধতি-নোট দেখুন।
WordChess দেখতে নিরীহ আত্মীয়ের মতো, গ্রিডের ওপর একটি শব্দ-খেলা, ছুরি-লড়াইয়ের চেয়ে শব্দজব্দের বেশি কাছাকাছি। ওই ধারণাটি ঠিক উল্টো, আর তার কারণ এর নিয়মের একটিমাত্র লাইন: প্রত্যেক খেলোয়াড় একশো টাইলের একটি সম্পূর্ণ সেট ধরে রাখেন। 7
সাত-টাইলের কোনো র্যাক নেই, টাইল-তোলার ভাগ্য নেই, একটি স্বরবর্ণের জন্য অপেক্ষা নেই। যেকোনো চালে একজন খেলোয়াড় অভিধানের 148,941টি শব্দের প্রায় যেকোনোটির দিকে হাত বাড়াতে পারেন, পঁচিশ অক্ষর পর্যন্ত লম্বা শব্দ, অর্থাৎ বোর্ডের প্রস্থ পর্যন্ত, এবং সেটি বসানোর একটি জায়গা খুঁজতে পারেন। 7 Scrabble, তার সাতটি এলোমেলো টাইলে গলা-চাপা অবস্থায়, র্যাকে ঘটনাচক্রে যা আছে কেবল তা দিয়েই গড়তে পারে। 5 WordChess ওই বাধাটি পুরোপুরি সরিয়ে দেয়।
পরিণতি প্রচণ্ড। একেবারে প্রথম চালেই খুলে যায় দশ থেকে বিশ লক্ষ বৈধ বসানোর পথ: একটি শব্দ, একটি অভিমুখ, আর উন্মুক্ত 25×25 বোর্ডে একটি জায়গা। দুই খেলোয়াড় মাত্র একবার করে চাল দেওয়ার পরেই খেলাটি শাখায় শাখায় ছড়িয়ে পড়ে মোটামুটি এক ট্রিলিয়ন অবস্থানে। দাবায়, একই বিনিময়ের পরে, অবস্থান চারশোটি। 4
নিয়মগুলো সরলতর। সম্ভাবনার পরিসর নয়।
প্রতিটি চিহ্নিত ধাপ তার নিচেরটির চেয়ে চল্লিশ মাত্রা, অর্থাৎ 1040 গুণ, ওপরে। এই মাপকাঠিতে WordChess-এর প্রথম বিশটি চাল অনায়াসে মহাবিশ্বের পরমাণুর সংখ্যা পেরিয়ে যায়, এবং ঠিক সেখানে গিয়ে নামে যেখানে দাবার একটি পুরো খেলা বসে আছে। 1
বোর্ড যত ভরে ওঠে, দাবার শাখা-গুণক ধীরে ধীরে 35-এর দিকে উঠে সেখানেই থাকে। WordChess-এরটি থাকে হাজারের ঘরে: ইতিমধ্যে খেলা প্রতিটি শব্দ হয়ে ওঠে আঁকড়ে ধরার একটি নতুন নোঙর, আর টাইলের পূর্ণ সেট হাতে থাকায় একমাত্র আসল সীমা হলো অভিধান কোন আড়াআড়ি মিলগুলো অনুমোদন করে। 7
হিসাবটা সামনে চালিয়ে দেখুন। এমনকি যদি প্রতিটি চাল, সমৃদ্ধ শুরুর চালটিসহ, কেবল ইচ্ছাকৃতভাবে রক্ষণশীল এক হাজার বৈধ চাল দিত, তবুও WordChess তার প্রথম বিশ চালের মধ্যেই পৌঁছে যেত 10120-এ, অর্থাৎ শ্যানন সংখ্যায়, দাবার একটি পুরো খেলার জটিলতায়। প্রতি চালে দশ হাজার চাল ধরুন, যা এখনো যুক্তিসংগত, আর বিশ চাল উঠে যায় 10160-এর দিকে: দাবার 1060-এর চেয়ে ষাট থেকে একশো মাত্রা (order of magnitude) বেশি ব্যবধান। 1
অনুমানটিকে ছোট করতে করতে ধরে নিন যে একজন খেলোয়াড় প্রতি চালে মাত্র তিনশো বৈধ চাল খুঁজে পান, আসল সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ মাত্র, তবুও বিশ চালে পাওয়া যায় 1099। তবুও দাবার চেয়ে চল্লিশ মাত্রা বেশি। আপনি যত নৈরাশ্যবাদী অনুমানই চাপান, সিদ্ধান্তটি টিকে থাকে। 1
দাবার সংখ্যাগুলো কয়েক দশকের সম্পূর্ণ গণনার ফল; সেগুলো জানা। WordChess-এরগুলো যত্নশীল অনুমান, এর বাস্তব প্যারামিটার থেকে নেওয়া: একটি 25×25 বোর্ড, 148,941 শব্দের একটি অভিধান, আর প্রত্যেক খেলোয়াড়ের হাতে একটি পূর্ণ 100-টাইলের সেট; এবং এদের ত্রুটির পরিসর প্রশস্ত। যা নিয়ে সন্দেহ নেই তা হলো ব্যবধানের দিক আর মাত্রা। এই লেখার প্রতিটি অনুমান রক্ষণশীল হওয়ার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছে, আর ব্যবধান তবুও বিপুল।
দাবা আপনাকে বেঁধে রাখে: ঘোড়া ঘোড়ার মতোই চলে, বোড়ে এক ঘর করে এগোয়, আর আপনার বিকল্পগুলো সমৃদ্ধ হলেও সসীম ও পরিচিত। WordChess আপনার হাতে তুলে দেয় পুরো ভাষা আর পুরো বোর্ড, এবং বেছে নিতে বলে। এটাই নকশাটির করা লেনদেন, আর এ কারণেই বন্ধুসুলভ গ্রিডটি একটি সমবায়ী মহাসাগর লুকিয়ে রাখে।
এর কিছুই প্রমাণ করে না যে WordChess ভালোভাবে খেলা কঠিনতর; বড় অনুসন্ধান-পরিসর আর গভীরতর কৌশল এক জিনিস নয়, আর দাবার প্রতিভা হলো তার সংকীর্ণ শাখা-বিস্তার থেকে সে কতটা অর্থ নিংড়ে বের করে। কিন্তু যে কেউ একটি শব্দ-খেলাকে হালকা বিকল্প ভাবেন, তিনি গণিতটিকে একেবারে উল্টো করে দেখছেন। প্রথম বিশ চালে WordChess রাজাদের মহান খেলাটিকে প্রায় ছোট দেখিয়ে দেয়।
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."